tag:blogger.com,1999:blog-72685326459056022562024-02-18T20:50:51.525-08:00foreverforeverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.comBlogger7125tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-70550592414536409552010-11-04T03:58:00.000-07:002010-11-04T03:58:42.487-07:00Progressão Geométrica.Uma <b>progressão geométrica</b> (<b>P.g.</b> ou <b>P.G.</b>) é uma <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_num%C3%A9rica" title="Sequência numérica">sequência numérica</a> em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_%28matem%C3%A1tica%29" title="Produto (matemática)">produto</a> do termo anterior por uma <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante" title="Constante">constante</a> <img alt="q\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/7/de77912674fbea64f46e198fa89d5948.png" />. Esta constante <img alt="q\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/7/de77912674fbea64f46e198fa89d5948.png" /> é chamada <i>razão da progressão geométrica</i>. A letra <b>q</b> foi escolhida por ser inicial da palavra <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Quociente" title="Quociente">quociente</a>.<br />
Alguns exemplos de progressão geométrica:<br />
<ul><li><img alt="\left (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,...\right)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/4/6843c678a7acdc321fcc1db808a83707.png" />, onde <img alt="q=2\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/f/4/2f4bde55fe0735fd4c3f232c1d21ce9f.png" /></li>
</ul><ul><li><img alt="\left (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/0/a60ba896a2afca5166f68e804d668bec.png" />, onde <img alt="q=\frac{1}{2}\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/4/66455fdb3f138049e735f6c155dd7526.png" /></li>
</ul><ul><li><img alt="\left (-3,9,-27,81,-243,729,-2187,...\right)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/3/553c04a544b14fcd27c1f3b268e220f8.png" />, em que <img alt="q=-3\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/2/a/52ab2104920fa3cd2fce93d9588fbc27.png" /></li>
</ul><ul><li><img alt="\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,...\right) \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/a/2/ba2f87685c92ff71f0fbe05457cbb9e0.png" />, em que <img alt="q=1\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/2/4621188c8a3bb4a30502b0240133448b.png" /></li>
</ul><ul><li><img alt="\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\right) \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/3/5/535af1e4224d833ee5c37e7202698eed.png" />, em que <img alt="q=0\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/a/4/fa4724156ece1362bedbd0a4dc3c07b9.png" /></li>
</ul><h2><span class="mw-headline" id="Soma_dos_termos_de_uma_P.G."> </span><span class="mw-headline" id="Soma_dos_termos_de_uma_P.G.">Soma dos termos de uma P.G.</span></h2>A <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Soma" title="Soma">soma</a> dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:<br />
<dl><dd><img alt="S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/f/f3fd3320eecffbc90335062ef2244322.png" />, veja notação de <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio" title="Somatório">somatório</a></dd></dl><dl><dd><img alt="S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/4/634f57db25ec977418b778954d821aed.png" /></dd></dl><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Demonstra.C3.A7.C3.A3o">Demonstração</span></h3>Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:<br />
<dl><dd><img alt="S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/3/7/037a774bb3a7dde2486d152c269b291a.png" /></dd></dl>Multiplique pela razão(q):<br />
<dl><dd><img alt=" q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f118ded0c5778cfe873f8477fe71f44.png" /></dd></dl>Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:<br />
<dl><dd><img alt="q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/f/a/dfa819f75a94d5e83845bdab6adf27d4.png" /></dd></dl>o que é equivalente a:<br />
<dl><dd><img alt="\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd08b4b5e1272fa15cd6043c4d9e91ba.png" /></dd></dl>Divida ambas os termos por: :<img alt="(q-1)\neq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/7/7/677e031610ff164a17890e7adf9fecfc.png" /> e o resultado segue.<br />
<br />
<h2><span class="mw-headline" id="Soma_dos_infinitos_termos_de_uma_P.G.">Soma dos <i>infinitos</i> termos de uma P.G.</span></h2>A <i>soma</i> dos infinitos termos de uma P.G. é chamada <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_geom%C3%A9trica" title="Série geométrica">série geométrica</a> e está bem definida quando <span class="texhtml">| <i>q</i> | < 1</span>. Sua soma é:<br />
<dl><dd><img alt="S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/a/00a3fac5dcc900f4ad17ae072562858a.png" /></dd></dl>Agora, se <img alt="q \geq 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/0/7f0f5f2cd2f8cccfc13499290a50879f.png" /> e <span class="texhtml"><i>a</i><sub>1</sub> > 0</span> então sua soma é <b>mais infinito</b> e se <img alt="q \geq 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/0/7f0f5f2cd2f8cccfc13499290a50879f.png" /> e <span class="texhtml"><i>a</i><sub>1</sub> < 0</span>, sua soma é <b>menos infinito</b>.<br />
<dl><dd><img alt="S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\
+\infty, & q\geq 1, a_1>0\\
-\infty, & q\geq 1, a_1<0\\
0, & a_1=0;
\end{array}\right." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/d/cad337d3327a47f49d4fb69d14adceea.png" /></dd></dl>Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso <img alt="q\ge-1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/a/daab7d6b4a9d498ba9e6db55b9b43b27.png" />, por exemplo. Observe também que <span class="texhtml"><i>q</i></span> pode ser <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos" title="Números complexos">complexo</a>. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_divergente" title="Série divergente">séries divergentes</a>.<br />
<br />
<h2><span class="mw-headline" id="Produto_dos_termos_de_uma_P.G.">Produto dos termos de uma P.G.</span></h2>O <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto" title="Produto">produto</a> dos termos de uma Progressão Geométrica, a partir do primeiro, é dada por: <img alt="P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/7/647364401b4a82e4a73df4f60b3b80c0.png" /><br />
O produto também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: <img alt="P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc0f171b3f7011809e80eae32a17cae.png" />, sendo similar à forma do Somatória da P.A.<br />
<br />
<h2><span class="mw-headline" id="Classifica.C3.A7.C3.A3o_das_progress.C3.B5es_geom.C3.A9tricas">Classificação das progressões geométricas</span></h2>As <b>P.G.</b> podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de <b>q</b>. <br />
<br />
<br />
<br />
<span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_geom.C3.A9trica_constante">Progressão geométrica constante.</span><br />
Uma <b>progressão geométrica constante</b> é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão <i>q</i> tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).<br />
Exemplos de progressão geométrica constante:<br />
<ul><li><b>P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)</b> - razão <i>q = 1</i></li>
<li><b>P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)</b> - <i>razão nula ou indeterminada</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_geom.C3.A9trica_crescente">Progressão geométrica crescente</span></h3>Uma <b>progressão geométrica crescente</b> é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a<sub>1</sub> positivo a razão <i>q</i> tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a<sub>1</sub> negativo a razão <i>q</i> tem que ser positiva e menor que 1.<br />
Exemplos de progressão geométrica crescente:<br />
<ul><li><b>P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...)</b> - razão <i>q = 2</i></li>
<li><b>P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...)</b> - razão <i>q = 3</i></li>
<li><b>P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...)</b> - razão <i>q = 1/10</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"> </span><span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_geom.C3.A9trica_decrescente">Progressão geométrica decrescente</span></h3>Uma <b>progressão geométrica decrescente</b> é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a<sub>1</sub> positivo a razão <i>q</i> tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a<sub>1</sub> negativa a razão <i>q</i> tem que ser positiva e maior que 1.<br />
Exemplos de progressão geométrica decrescente:<br />
<ul><li><b>P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...)</b> - razão <i>q = 2</i></li>
<li><b>P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...)</b> - razão <i>q = 1/2</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_geom.C3.A9trica_oscilante">Progressão geométrica oscilante</span></h3>Uma <b>progressão geométrica oscilante</b> (ou <b>alternante</b>) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero" title="Zero">zero</a> e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão <i>q</i> tem que ser sempre negativa e diferente de <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero" title="Zero">zero</a>.<br />
Exemplos de progressão geométrica oscilante:<br />
<ul><li><b>P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...)</b> - razão <i>q = -2</i></li>
<li><b>P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...)</b> - razão <i>q = -1</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_geom.C3.A9trica_quase_nula">Progressão geométrica quase nula</span></h3>Uma <b>progressão geométrica quase nula</b> é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero" title="Zero">zero</a> e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão <i>q</i> tem que ser sempre igual a zero.<br />
Exemplos de progressão geométrica quase nula:<br />
<ul><li><b>P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)</b> - razão <i>q = 0</i></li>
<li><b>P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)</b> - razão <i>q = 0</i></li>
<li><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_Aritm.C3.A9tica_Geom.C3.A9trica">Progressão Aritmética Geométrica</span></li>
</ul>Uma <b>progressão aritmética geométrica</b> é o produto de uma <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica" title="Progressão aritmética">progressão aritmética</a> por uma <strong class="selflink">progressão geométrica</strong>.<br />
O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.<br />
<br />
<h2><span class="mw-headline" id="Defini.C3.A7.C3.A3o_por_recurs.C3.A3o_e_f.C3.B3rmula_do_termo_geral">Definição por recursão e fórmula do termo geral</span></h2>Costuma-se denotar por <span class="texhtml"><i>a</i><sub><i>n</i></sub></span> n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial <span class="texhtml"><i>a</i><sub>1</sub></span> e sua razão <b>q</b>.<br />
A sucessão dos termos é obtida por <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o" title="Recursão">recursão</a>:<br />
<ul><li><img alt="a_n=a_1, n=1\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/7/2/1723a7d409e25d972803b7290c5879f6.png" /></li>
<li><img alt="a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/2/1828189b5a5973bcfccc0657f16ecd88.png" /></li>
</ul>É fácil demonstrar por <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica" title="Indução matemática">indução matemática</a> que:<br />
<dl><dd><img alt="a_n=a_1.q^{n-1}\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/1/b2176b73f1c6a61e4f52f6fd28648ba5.png" /></dd></dl><br />
<a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_de_programa%C3%A7%C3%A3o_C" title="Linguagem de programação C">linguagem de programação C</a>), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (<span class="texhtml"><i>a</i><sub>0</sub></span>). Neste caso, o termo geral fica:<br />
<dl><dd><img alt="a_n = a_{0} \ q^n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/f/d5f8c06ed84413e79444d539131a18b0.png" /></dd></dl>De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:<br />
<dl><dd><img alt="a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/7/bf737653d4611931cd4e1c99200ee2c3.png" /></dd></dl>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-62512512107558522842010-10-28T05:15:00.000-07:002010-11-04T05:11:10.753-07:00Exercícios sobre o filme ''Enigmas de um Crime''<h1 class="firstHeading" id="firstHeading"><span style="font-size: small;">1-Pesquise qual a sequência de fibonacci e explique-a:</span></h1>Na <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, os <b>Números de <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci" title="Leonardo Pisano Fibonacci">Fibonacci</a></b> são uma <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Sucess%C3%A3o_matem%C3%A1tica" title="Sucessão matemática">sequência</a> (sucessão, em Portugal) definida como <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o" title="Recursão">recursiva</a> pela fórmula abaixo:<br />
<dl><dd><img alt=" F(n) =
\left\{
\begin{matrix}
0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{se }n=0\,;\ \ \\
1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{se }n=1;\ \ \,\\
F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{outros casos.}
\end{matrix}
\right." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/5/0d5cce25d67941bb4661afd52609d93c.png" /></dd></dl>O algoritmo recursivo que define a série aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci" title="Leonardo Pisano Fibonacci">Fibonacci</a> somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros Números de <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci" title="Leonardo Pisano Fibonacci">Fibonacci</a> (sequência <a class="extiw" href="http://oeis.org/A000045" title="oeis:A000045">A000045</a> na <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/OEIS" title="OEIS">OEIS</a>) para <i>n</i> = 0, 1,… são<br />
<dl><dd><a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero" title="Zero">0</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Um" title="Um">1</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Um" title="Um">1</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Dois" title="Dois">2</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%AAs" title="Três">3</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinco" title="Cinco">5</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Oito" title="Oito">8</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Treze" title="Treze">13</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_um" title="Vinte e um">21</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Trinta_e_quatro" title="Trinta e quatro">34</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinquenta_e_cinco" title="Cinquenta e cinco">55</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_nove" title="Oitenta e nove">89</a>, <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_quarenta_e_quatro" title="Cento e quarenta e quatro">144</a>, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…</dd></dl>Esta sequência foi descrita primeiramente por <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci" title="Leonardo Pisano Fibonacci">Leonardo de Pisa</a>, também conhecido como <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci" title="Leonardo Pisano Fibonacci">Fibonacci</a> (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de <i>n</i> meses se for suposto que:<br />
<ul><li>no primeiro mês nasce apenas um casal,</li>
<li>casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,</li>
<li>não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,</li>
<li>todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e</li>
<li>os coelhos nunca morrem.</li>
</ul>O termo <i>sequência de Fibonacci</i> é também aplicado mais genericamente a qualquer <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o" title="Função">função</a> <i>g</i> onde <i>g</i>(<i>n</i> + 2) = <i>g</i>(<i>n</i>) + <i>g</i>(<i>n</i> + 1). Estas funções são precisamente as de formato <i>g</i>(<i>n</i>) = <i>aF</i>(<i>n</i>) + <i>bF</i>(<i>n</i> + 1) para alguns números <i>a</i> e <i>b</i>, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções <i>F</i>(<i>n</i>) e <i>F</i>(<i>n</i> + 1) como base.<br />
Em particular, a sequência de Fibonacci com <i>F</i>(1) = 1 e <i>Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci</i> F<i>(2) = 3 é conhecida como os <b>números de Lucas</b>. A importância dos números de Lucas</i> L(n) <i>reside no fato deles gerarem a <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea" title="Proporção áurea">Proporção áurea</a> para as e</i>n<i>ésimas potências:</i><br />
<dl><dd><img alt="\left( \frac 1 2 \left( 1 + \sqrt{5} \right) \right)^n = \frac 1 2 \left( L(n) + F(n) \sqrt{5} \right)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/d/0dd4d47ec14b35b8d60012ef47b1e8b1.png" /></dd></dl>Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:<br />
<dl><dd><span class="texhtml"><i>L</i>(<i>n</i>) = <i>F</i>(<i>n</i> - 1) + <i>F</i>(<i>n</i> + 1)</span></dd></dl>Com esta fórmula podemos montar a Sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1.<br />
Como mostra a figura abaixo;<br />
<div class="floatnone"><a class="image" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:FibonacciBlocks.svg" title="Uma grade preenchida com quadrados cujos lados são números de Fibonacci, formando sucessivamente retângulos cada vez maiores e tendentes à razão áurea"><img alt="Uma grade preenchida com quadrados cujos lados são números de Fibonacci, formando sucessivamente retângulos cada vez maiores e tendentes à razão áurea" height="170" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/FibonacciBlocks.svg/270px-FibonacciBlocks.svg.png" width="270" /></a></div>Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos<br />
F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )<br />
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )<br />
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )<br />
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2<br />
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1<br />
e a primeira posição 1.<br />
Note que a Sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1,1,2,3,5,8 …<br />
<b><br />
<b>2-</b> O que se pode concluir sobre LÓGICA MATEMÁTICA no nosso dia a dia segundo a mensagem deixada no filme?</b><br />
<br />
A LÓGICA MATEMÁTICA NO COTIDIANO<br />
Muitas situações no nosso dia a dia requerem um pensamento lógico, será que esta lógica é a mesma que segue os rigores da matemática?<br />
Veja as seguintes frases:<br />
Premissa 1 : "Todo homem é mortal."<br />
Premissa 2 : "João é homem."<br />
Conclusão : "João é mortal."<br />
Estas frases têm alguma relação com a matemática?<br />
Para entendermos melhor a idéia de lógica matemática vamos retornar no tempo e ver como se originaram as primeiras idéias sobre o assunto.<br />
Podemos dizer que o criador da lógica matemática foi Aristóteles de Estagira na macedônia (384 322 a C).<br />
<b><b>3-</b> Círculos, peixe, triângulo e triângulos.<br />
Qual a sequência formada no filme? Ela possui alguma regularidade? Explique com suas palavras</b> .<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhID8lZaGuYZYcVfy0orV7bhaF36XFStiXW90pRbTCPq0U8mZO7h2rDnhwW_XH7BvvwnexTm-dXCj4gTUK1sGeLK6K3iS2gz8_UsJX4Hp38sBxwUpB2WNwQUgWaDb9IUJaOarQtse6AQsM/s1600/simbolos.png" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhID8lZaGuYZYcVfy0orV7bhaF36XFStiXW90pRbTCPq0U8mZO7h2rDnhwW_XH7BvvwnexTm-dXCj4gTUK1sGeLK6K3iS2gz8_UsJX4Hp38sBxwUpB2WNwQUgWaDb9IUJaOarQtse6AQsM/s1600/simbolos.png" width="320" /></a></div><br />
<b><strong>4-</strong> Defina e exemplifique:</b> <ul><li><b>axioma</b></li>
<li><b>teorema </b></li>
</ul><b>Axioma</b><br />
Na <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica" title="Lógica">lógica</a> tradicional, um <b>axioma</b> ou <b>postulado</b> é uma <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Senten%C3%A7a" title="Sentença">sentença</a> ou <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Proposi%C3%A7%C3%A3o" title="Proposição">proposição</a> que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria" title="Teoria">teoria</a>. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o" title="Dedução">dedução</a> e <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAncia" title="Inferência">inferências</a> de outras verdades (dependentes de teoria).<br />
<br />
<b> Teorema</b><br />
<b>Teorema</b> é um termo introduzido por <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>, em <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides" title="Elementos de Euclides">Elementos</a>, para significar "afirmação que pode ser provada". Em <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_grega" title="Língua grega">grego</a>, originalmente significava "espetáculo" ou "festa". Atualmente, é mais comum deixar o termo "teorema" para apenas certas afirmações que podem ser provadas e de grande "importância matemática", o que torna a definição um tanto <a class="new" href="http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Subjetivo&action=edit&redlink=1" title="Subjetivo (página não existe)">subjetiva</a>.<br />
Provar teoremas é a principal atividade dos <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemáticos</a>.<br />
É importante notar que "<b>teorema</b>" é diferente de "<b><a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria" title="Teoria">teoria</a></b>".<br />
<br />
<b><strong>5-</strong> No filme, qual o objetivo do estudante ao treinar tênis com as marcações na parede?</b><br />
<b> </b><br />
Calcular as medidas certas para que ele não errasse a bola.<br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
<strong>6-</strong> Séries lógicas... O que são ? Exemplifique.</b> <br />
<br />
<h3 class="post-title entry-title"></h3><div class="post-header"> </div> <i>Toda noção tem uma série lógica, a série de cada uma deve ser necessariamente da maneira que é, caso contrário não seria ela mesma.</i><br />
<i> O oposto dessa série lógica ou o oposto dessa noção relativa ao mesmo sujeito não é contraditório ou impossível.</i><br />
<i> Séries lógicas são infinitas, e são coordenadas por regras racionais.</i><br />
<br />
<b><strong>7-</strong> Pesquise três diferentes sequências e mostre dois jeitos diferentes de resolver uma delas.</b><br />
<br />
<b><strong>8-</strong> Escreva, em poucas linhas, a sua opinião crítica sobre o filme.</b><br />
<br />
Eu achei o filme muito interessante e educativo.<b> </b>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-5832106878439403302010-10-07T06:17:00.000-07:002010-10-07T17:13:22.055-07:00poesia sobre P.A.<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b> </b></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b> <span style="font-size: large;">Fórmula de uma P.A</span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"> </span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"> <span style="font-size: small;">Uma conta matemática</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> agora eu irei fazer,</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> poesias ao quadrado</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> potência do meu saber.</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> </span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> Use a P.A quando</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> o triângulo é retângulo</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> nunca trace suas mágoas</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> olhe bem para o seu ângulo.</span></span></b></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> Numa regra de P.A</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> converta sua emoção</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> o resultado de uma nova idéia</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> é a mais pura sensação.</span></span></b></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> A conta esta acabando </span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> a poesia so começando</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> mas agora para finalizar</span></span></b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"> use a P.A para te alegrar. </span></span></b></span></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b> </b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b> </b></span></span><br />
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"><b> </b></span></span><span style="font-size: small;"><b> </b></span>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-88137901542278457952010-09-23T05:47:00.000-07:002010-09-23T05:47:16.957-07:00Curiosidade Matematica<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr></tr>
<tr><td colspan="2" height="10"><br />
</td> </tr>
<tr> <td width="15"> </td> <td> <span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Um número é <b> capicua</b> quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:<br />
<br />
Partindo do número <u>84</u>: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.</span></td></tr>
</tbody></table>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-18853802355501270522010-09-17T16:01:00.000-07:002010-09-17T16:05:10.173-07:00Resolução dos exercícios de Haamon e Millene<span style="color: black;">1-Determine o número de termos da P.A (-3,2,6,...,114).</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">N=? An=a1 + (n- 1).r</span><br />
<span style="color: black;">An=114 114=-3 + (n-1).5</span><br />
<span style="color: black;">A1=-3 114=-3 + 5n - 5</span><br />
<span style="color: black;">R=6-1=5 114=5n - 8</span><br />
<span style="color: black;"> 114-8 = 5n</span><br />
<span style="color: black;"> 106=5n</span><br />
<span style="color: black;"> <u> 106 </u>= </span><span style="background-color: white; color: red;">21= n</span><br />
<span style="color: black;"> 5</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">2-numa estrada existe três telefones instalados no acostamento,um no km 3 e o outro no km 88 .entre eles</span><br />
<span style="color: black;">serão colocados mais 15 telefones,mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses telefones.</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">N=17 An=a1+(n-1).r</span><br />
<span style="color: black;">An=88 88=3+(17-1).r</span><br />
<span style="color: black;">A1=3 88=3+16r</span><br />
<span style="color: black;">R= ? 88-3=16r</span><br />
<span style="color: black;"> <u>85</u> = </span><span style="color: red;">5 = R</span><br />
<span style="color: black;"> 16</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">3-Quantos múltiplos de 5 podemos achar com 3 algarismos?</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">N= ? An=a1+ (n-1).r</span><br />
<span style="color: black;">An=995 995=100+(n - 1).5</span><br />
<span style="color: black;">A1=100 995=100+5n-1</span><br />
<span style="color: black;">R=6-1=5 995=5n-99</span><br />
<span style="color: black;"> 995+99=5n</span><br />
<span style="color: black;"> 1094=5n</span><br />
<span style="color: black;"> <u>1094 </u>= </span><span style="color: red;">219=n</span><br />
<span style="color: black;"> 5</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">4-Determine o 5º termo da P.A(8,20, ...).</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">8,20,32,44,</span><span style="color: red;">56</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">5-Achar o número de múltiplos de 6 compreendidos entre 25 e 250 .</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;">A1=30 An=a1+(n-1).r</span><br />
<span style="color: black;">An=240 240=30(n-1).6</span><br />
<span style="color: black;">N=? 240=30+6n - 6</span><br />
<span style="color: black;">R=6 240=24+6n</span><br />
<span style="color: black;"> 240-24=6n</span><br />
<span style="color: black;"> 216=6n</span><br />
<span style="color: black;"> <u>216</u> = </span><span style="color: red;">n = 36</span><br />
<span style="color: black;"> 6 </span>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-58309197901469372982010-09-09T05:54:00.000-07:002010-09-09T05:54:47.937-07:00Exercícios de P.A<b>1)Encontre o termo geral da P.A.(3,8,...)</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>2) Determine o número de termos da P.A.(-5,2...23)</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>3)Escreva uma P.A de:</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>a)6 termos em que a =2 e r=-3.</b><br />
<b> 1 </b><br />
<br />
<br />
<b>4)Qual o décimo termo da P.A.(1,5...).</b><br />
<b> </b><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>5)Interpolar sete meios aritméticos entre 6 e 38.</b>foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7268532645905602256.post-77172159272452129162010-09-09T05:36:00.000-07:002010-10-07T16:46:29.456-07:00progressão aritméticaUma <b>progressão aritmética</b> é uma <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_num%C3%A9rica" title="Sequência numérica">sequência numérica</a> em que cada termo, a partir do segundo, é igual à <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o" title="Adição">soma</a> do termo anterior com uma <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante" title="Constante">constante</a> <img alt="r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/f/c4f4c3516ae8626abc95626b5686a2b1.png" />. O número <img alt="r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/f/c4f4c3516ae8626abc95626b5686a2b1.png" /> é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de <b>resto</b>(da <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o" title="Subtração">subtracção</a><br />
Alguns exemplos de progressão aritmética:<br />
<ul><li><img alt="P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/b/08b583b687c743c7555cc50259465e7a.png" />, em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.</li>
<li><img alt="P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/0/3/50377c5686b0fc1a17f886c9363e3bff.png" />, em que <img alt="r=-2\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/2/662cd06b5d3b9056938686f97a13aedb.png" />.</li>
<li><img alt="P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...)\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/9/e/39e2c7d60c80e27c588ba772a63d3974.png" />, onde <img alt="r=0\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/5/9250a5dea0aea93b2fcd780941987e56.png" />.</li>
</ul>Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, <span class="texhtml"><i>a</i><sub><i>n</i></sub> = (<i>a</i><sub><i>n</i> − 1</sub> + <i>a</i><sub><i>n</i> + 1</sub>) / 2</span>.<br />
<h2><span class="mw-headline" id="F.C3.B3rmula_do_termo_geral_de_uma_progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica">Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética</span></h2>A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:<br />
<ul><li>O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.</li>
</ul><ul><li>O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:</li>
</ul><img alt="u_2=u_1+r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/1/f/91f7f9527dde8d020d581f39f7ea798c.png" /><br />
<ul><li>O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:</li>
</ul><img alt="u_3=u_2+r \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/3/98351c940ab0637097f8b17e12500263.png" /><br />
<img alt="u_2=u_1+r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/1/f/91f7f9527dde8d020d581f39f7ea798c.png" />, portanto: <img alt="u_3=(u_1+r)+r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/e/e/8eecf39daee562721651b6c158bd6e57.png" /><br />
<img alt="u_3=u_1+2r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/b/ffb5bd6f4f91c525c07bd293aea884a7.png" /><br />
<ul><li>O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:</li>
</ul><img alt="u_4=u_3+r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/7/9/679b4bfbd77390909aa9867dcef23a72.png" /><br />
<img alt="u_3=u_1+2r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/b/ffb5bd6f4f91c525c07bd293aea884a7.png" />, portanto: <img alt="u_4=(u_1+2r)+r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/e/8/5e87913e73ba2eb40c90e0a65f86228f.png" /><br />
<img alt="u_4=u_1+3r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/6/6d66d4c5c7edcbe27251de7974e806d7.png" /><br />
<ul><li>Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:</li>
</ul><img alt="u_n=u_1+(n-1).r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/6/e86987fa62a8bb4b8880833b28bdbfbd.png" /> Outra fórmula útil expressa o n-étimo termo em função do m-étimo termo: <img alt="u_n = u_m + (n-m).r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/9/1/f919a5f73ae6b1694129c5535a6eb722.png" /><br />
<h2><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Soma_dos_termos_de_uma_progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica">Soma dos termos de uma progressão aritmética</span></h2>A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:<br />
<img alt="S_n=\frac{n.(u_1+u_n)}{2},\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/d/0/dd032cae58feff4c86143eb457f461f6.png" /><br />
A soma dos termos entre <img alt="a_p\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/2/e/a2ec48a0058b5d49f81c96b68de145ec.png" /> e <img alt="a_q\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/9/4/f94015331f565f99c38978db659bb40d.png" /> é:<br />
<img alt="S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/1/1/51101b474e84b0fbc2c10a34a23ec783.png" /><br />
Diz a lenda que <a class="mw-redirect" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Gauss" title="Gauss">Gauss</a> fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor<sup class="reference" id="cite_ref-0"><a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica#cite_note-0">[1]</a></sup><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Interpola.C3.A7.C3.A3o_Aritm.C3.A9tica">Interpolação Aritmética</span><br />
É a acção de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:<br />
<img alt="u_n=u_1+(n-1).r\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/6/e86987fa62a8bb4b8880833b28bdbfbd.png" /><br />
Onde:<br />
<dl><dd><span class="texhtml"><i>u</i><sub><i>n</i></sub></span> = Último termo da P.A.</dd><dd><span class="texhtml"><i>u</i><sub>1</sub></span> = Primeiro termo da P.A.</dd><dd><span class="texhtml"><i>n</i></span> = Número total de termos da P.A.</dd><dd><span class="texhtml"><i>r</i></span> = Razão da P.A.</dd></dl><h2><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Tipos_de_progress.C3.B5es_aritm.C3.A9ticas">Tipos de progressões aritméticas</span></h2><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica_constante">Progressão aritmética constante</span></h3>Uma <b>progressão aritmética constante</b> ou <b>estacionaria</b> é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão <i>r</i> tem que ser sempre igual a <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero" title="Zero">zero</a>.<br />
Exemplos de progressão aritmética constante:<br />
<ul><li><b>P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...)</b> - razão <i>r = 0</i></li>
<li><b>P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)</b> - razão <i>r = 0</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"><br />
</span></h3><h3><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica_crescente">Progressão aritmética crescente</span></h3>Uma <b>progressão aritmética crescente</b> é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão <i>r</i> tem que ser sempre maior que zero (r>0).<br />
Exemplos de progressão aritmética crescente:<br />
<ul><li><b>P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...)</b> - razão <i>r = 2</i></li>
<li><b>P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...)</b> - razão <i>r = 3</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica_decrescente">Progressão aritmética decrescente</span></h3>Uma <b>progressão aritmética decrescente</b> é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão <i>r</i> tem que ser sempre menor do que zero (r<0).<br />
Exemplos de progressão aritmética decrescente:<br />
<ul><li><b>P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...)</b> - razão <i>r = -2</i></li>
<li><b>P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...)</b> - razão <i>r = -3</i></li>
</ul><h3><span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Progress.C3.A3o_aritm.C3.A9tica_de_segunda_ordem">Progressão aritmética de segunda ordem</span></h3>Uma <b>progressão aritmética de segunda ordem</b> é considerada por muitos matemáticos o tipo de progressão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:<br />
<ul><li><b>Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)</b></li>
</ul>Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.foreverhttp://www.blogger.com/profile/01418112413096077972noreply@blogger.com3