Curiosidade Matematica

	Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo: Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.

Resolução dos exercícios de Haamon e Millene

1-Determine o número de termos da P.A (-3,2,6,...,114).


N=?                                                    An=a1 + (n- 1).r
An=114                                              114=-3 + (n-1).5
A1=-3                                                114=-3 + 5n - 5
R=6-1=5                                            114=5n - 8
                                                          114-8 = 5n
                                                           106=5n
                                                           106 =  21= n
                                                            5




2-numa estrada existe três telefones instalados no acostamento,um no km 3 e o outro no km 88 .entre eles
serão colocados mais 15 telefones,mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses telefones.


N=17                                                An=a1+(n-1).r
An=88                                              88=3+(17-1).r
A1=3                                                88=3+16r
R= ?                                                  88-3=16r
                                                          85 = 5 = R
                                                          16


3-Quantos múltiplos de 5 podemos achar com 3 algarismos?


N= ?                                                  An=a1+ (n-1).r
An=995                                             995=100+(n - 1).5
A1=100                                             995=100+5n-1
R=6-1=5                                            995=5n-99
                                                          995+99=5n
                                                          1094=5n
                                                          1094 = 219=n
                                                            5


4-Determine o 5º termo da P.A(8,20, ...).


8,20,32,44,56


5-Achar o número de múltiplos de 6 compreendidos entre 25 e 250 .


A1=30                                               An=a1+(n-1).r
An=240                                             240=30(n-1).6
N=?                                                   240=30+6n - 6
R=6                                                   240=24+6n
                                                          240-24=6n
                                                          216=6n
                                                          216  = n = 36
                                                           6                                                   

Exercícios de P.A

1)Encontre o termo geral da P.A.(3,8,...)




2) Determine o número de termos da P.A.(-5,2...23)




3)Escreva uma P.A de:


a)6 termos em que a =2 e r=-3.
                                1


4)Qual o décimo termo da P.A.(1,5...).
                               




5)Interpolar sete meios aritméticos entre 6 e 38.

progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto(da subtracção
Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
• , em que .
• , onde .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_n = (a_{n − 1} + a_{n + 1}) / 2.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

• O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:

• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-étimo termo em função do m-étimo termo:

 Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor^[1] Interpolação Aritmética
É a acção de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

Onde:

u_n = Último termo da P.A.

u₁ = Primeiro termo da P.A.

n = Número total de termos da P.A.

r = Razão da P.A.

 Tipos de progressões aritméticas

 Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionaria é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão aritmética constante:

• P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
• P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressão aritmética crescente:

• P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
• P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

 Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressão aritmética decrescente:

• P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
• P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

 Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progressão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:

• Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)

Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.