quinta-feira, 4 de novembro de 2010

Progressão Geométrica.

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante $q\,\!$ . Esta constante $q\,\!$ é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.
Alguns exemplos de progressão geométrica:

$\left (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,...\right)\,\!$ , onde $q=2\,\!$

$\left (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!$ , onde $q=\frac{1}{2}\,\!$

$\left (-3,9,-27,81,-243,729,-2187,...\right)\,\!$ , em que $q=-3\,\!$

$\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,...\right) \,\!$ , em que $q=1\,\!$

$\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\right) \,\!$ , em que $q=0\,\!$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1$ , veja notação de somatório

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

$S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\,$

Multiplique pela razão(q):

$q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\,$

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

$q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\,$

o que é equivalente a:

$\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,$

Divida ambas os termos por: : $(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando

| q | < 1

. Sua soma é:

$S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}$

Agora, se $q \geq 1$ e

a 1 > 0

então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e

a 1 < 0

, sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso $q\ge-1$ , por exemplo. Observe também que

q

pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma P.G.

O produto dos termos de uma Progressão Geométrica, a partir do primeiro, é dada por: $P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}$
O produto também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: $P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}}$ , sendo similar à forma do Somatória da P.A.

Classificação das progressões geométricas

As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constante.
Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:

P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a₁ negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a₁ negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:

P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
Progressão Aritmética Geométrica

Uma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.
O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.

Definição por recursão e fórmula do termo geral

Costuma-se denotar por

a n

n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial

a 1

e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:

$a_n=a_1, n=1\,$
$a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots$

É fácil demonstrar por indução matemática que:

$a_n=a_1.q^{n-1}\,\!$

linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (

a 0

). Neste caso, o termo geral fica:

$a_n = a_{0} \ q^n\,$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m$

quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Exercícios sobre o filme ''Enigmas de um Crime''

1-Pesquise qual a sequência de fibonacci e explique-a:

Na matemática, os Números de Fibonacci são uma sequência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:

$F(n) = \left\{ \begin{matrix} 0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{se }n=0\,;\ \ \\ 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{se }n=1;\ \ \,\\ F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{outros casos.} \end{matrix} \right.$

O algoritmo recursivo que define a série aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de Fibonacci somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

no primeiro mês nasce apenas um casal,
casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
os coelhos nunca morrem.

O termo sequência de Fibonacci é também aplicado mais genericamente a qualquer função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Estas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas potências:

$\left( \frac 1 2 \left( 1 + \sqrt{5} \right) \right)^n = \frac 1 2 \left( L(n) + F(n) \sqrt{5} \right)$

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:

L (n) = F (n - 1) + F (n + 1)

Com esta fórmula podemos montar a Sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1.
Como mostra a figura abaixo;

Uma grade preenchida com quadrados cujos lados são números de Fibonacci, formando sucessivamente retângulos cada vez maiores e tendentes à razão áurea

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos
F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1
e a primeira posição 1.
Note que a Sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1,1,2,3,5,8 …

2- O que se pode concluir sobre LÓGICA MATEMÁTICA no nosso dia a dia segundo a mensagem deixada no filme?

A LÓGICA MATEMÁTICA NO COTIDIANO
Muitas situações no nosso dia a dia requerem um pensamento lógico, será que esta lógica é a mesma que segue os rigores da matemática?
Veja as seguintes frases:
Premissa 1 : "Todo homem é mortal."
Premissa 2 : "João é homem."
Conclusão : "João é mortal."
Estas frases têm alguma relação com a matemática?
Para entendermos melhor a idéia de lógica matemática vamos retornar no tempo e ver como se originaram as primeiras idéias sobre o assunto.
Podemos dizer que o criador da lógica matemática foi Aristóteles de Estagira na macedônia (384 322 a C).
3- Círculos, peixe, triângulo e triângulos.
Qual a sequência formada no filme? Ela possui alguma regularidade? Explique com suas palavras .

4- Defina e exemplifique:

axioma
teorema

Axioma
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

Teorema
Teorema é um termo introduzido por Euclides, em Elementos, para significar "afirmação que pode ser provada". Em grego, originalmente significava "espetáculo" ou "festa". Atualmente, é mais comum deixar o termo "teorema" para apenas certas afirmações que podem ser provadas e de grande "importância matemática", o que torna a definição um tanto subjetiva.
Provar teoremas é a principal atividade dos matemáticos.
É importante notar que "teorema" é diferente de "teoria".

5- No filme, qual o objetivo do estudante ao treinar tênis com as marcações na parede?

Calcular as medidas certas para que ele não errasse a bola.

6- Séries lógicas... O que são ? Exemplifique.

   Toda noção tem uma série lógica, a série de cada uma deve ser necessariamente da maneira que é, caso contrário não seria ela mesma.
   O oposto dessa série lógica ou o oposto dessa noção relativa ao mesmo sujeito não é contraditório ou impossível.
   Séries lógicas são infinitas, e são coordenadas por regras racionais.

7- Pesquise três diferentes sequências e mostre dois jeitos diferentes de resolver uma delas.

8- Escreva, em poucas linhas, a sua opinião crítica sobre o filme.

Eu achei o filme muito interessante e educativo.

quinta-feira, 7 de outubro de 2010

poesia sobre P.A.

                          Fórmula de uma P.A

                Uma conta matemática
                         agora eu irei fazer,
                          poesias ao quadrado
                         potência do meu saber.

                         Use a P.A quando
                          o triângulo é retângulo
                         nunca trace suas mágoas
                          olhe bem para o seu ângulo.

                          Numa regra de P.A
                            converta sua emoção
                            o resultado de uma nova idéia
                           é a mais pura sensação.

                                 A conta esta acabando
                            a poesia so começando
                                  mas agora para finalizar
                           use a P.A para te alegrar.

quinta-feira, 23 de setembro de 2010

Curiosidade Matematica

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.

sexta-feira, 17 de setembro de 2010

Resolução dos exercícios de Haamon e Millene

1-Determine o número de termos da P.A (-3,2,6,...,114).

N=?                                                    An=a1 + (n- 1).r
An=114                                              114=-3 + (n-1).5
A1=-3                                                114=-3 + 5n - 5
R=6-1=5                                            114=5n - 8
                                                          114-8 = 5n
                                                           106=5n
                                                           106 = 21= n
                                                            5

2-numa estrada existe três telefones instalados no acostamento,um no km 3 e o outro no km 88 .entre eles
serão colocados mais 15 telefones,mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses telefones.

N=17                                                An=a1+(n-1).r
An=88                                              88=3+(17-1).r
A1=3                                                88=3+16r
R= ?                                                  88-3=16r
                                                          85 = 5 = R
                                                          16

3-Quantos múltiplos de 5 podemos achar com 3 algarismos?

N= ?                                                  An=a1+ (n-1).r
An=995                                             995=100+(n - 1).5
A1=100                                             995=100+5n-1
R=6-1=5                                            995=5n-99
                                                          995+99=5n
                                                          1094=5n
                                                          1094 = 219=n
                                                            5

4-Determine o 5º termo da P.A(8,20, ...).

8,20,32,44,56

5-Achar o número de múltiplos de 6 compreendidos entre 25 e 250 .

A1=30                                               An=a1+(n-1).r
An=240                                             240=30(n-1).6
N=?                                                   240=30+6n - 6
R=6                                                   240=24+6n
                                                          240-24=6n
                                                          216=6n
                                                          216  = n = 36
                                                           6

quinta-feira, 9 de setembro de 2010

Exercícios de P.A

1)Encontre o termo geral da P.A.(3,8,...)

2) Determine o número de termos da P.A.(-5,2...23)

3)Escreva uma P.A de:

a)6 termos em que a =2 e r=-3.
1

4)Qual o décimo termo da P.A.(1,5...).

5)Interpolar sete meios aritméticos entre 6 e 38.

progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r\,\!$ . O número $r\,\!$ é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto(da subtracção
Alguns exemplos de progressão aritmética:

$P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!$ , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
$P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!$ , em que $r=-2\,\!$ .
$P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...)\,\!$ , onde $r=0\,\!$ .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

a n = (a n - 1 + a n + 1) / 2

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

$u_2=u_1+r\,\!$

O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

$u_3=u_2+r \,\!$
$u_2=u_1+r\,\!$ , portanto: $u_3=(u_1+r)+r\,\!$
$u_3=u_1+2r\,\!$

O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

$u_4=u_3+r\,\!$
$u_3=u_1+2r\,\!$ , portanto: $u_4=(u_1+2r)+r\,\!$
$u_4=u_1+3r\,\!$

Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

$u_n=u_1+(n-1).r\,\!$ Outra fórmula útil expressa o n-étimo termo em função do m-étimo termo: $u_n = u_m + (n-m).r\,\!$

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:
$S_n=\frac{n.(u_1+u_n)}{2},\!$
A soma dos termos entre $a_p\,\!$ e $a_q\,\!$ é:
$S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!$
Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor^[1] Interpolação Aritmética
É a acção de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:
$u_n=u_1+(n-1).r\,\!$
Onde:

u n

= Último termo da P.A.

u 1

= Primeiro termo da P.A.

n

= Número total de termos da P.A.

r

= Razão da P.A.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionaria é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão aritmética constante:

P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressão aritmética crescente:

P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressão aritmética decrescente:

P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progressão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:

Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)

Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.